Задания для областной олимпиады по математике
учащихся УНПО в 2003-2004 учебном году

Представила: Хаббасова А.К., методист УМК профессионального образования
Дата: 27.10.03

 

1.  Существует ли выпуклый пятиугольник ABCDE, у которого все углы ABD, BCE, CDA, DEB, EAC - тупые? (Пятиугольник называется выпуклым,  если его внутренние углы меньше 1800). (2 балла)

2.  Докажите, что если a, b, c - положительные числа и ab+bc+ca>a+b+c, то a+b+c>3 (3 балла)

3. Докажите, что если 1<a<b<c, то logalogab + logblogbc + logclogca >0. (6 баллов)

4. Считается, что ученик A учится лучше ученика B, если в большинстве контрольных работ оценка у A выше, чем оценка у B. Оказалось, что ученик А учится лучше, чем В, ученик В - лучше, чем С, а ученик С - лучше, чем А. Приведите пример, когда такое возможно. (5 баллов)

5. Каждую грань куба разбили на 4 одинаковых квадрата и каждый получившийся квадрат покрасили одной из трех различных красок. Оказалось, что любые два квадрата, имеющие общую сторону, покрашены в разные цвета. Докажите, что всего имеется по 8 квадратов каждого цвета. Приве6дите пример такой раскраски.

(4 балла)

возможные варианты решений

 

1.   Рассмотрим наименьшую диагональ пятиугольника. Допустим, что это диагональ AC (смотреть  рисунок). Т.к. АС £ АД, то угол СВА £ угла ВАС (т.к. в треугольнике АВС против большей стороны лежит больший угол). Но тогда в треугольнике АСД  два тупых угла, что невозможно. Случаи, когда наименьшей является диаго6нальь ВД, СЕ, ДА или ВЕ, рассматриваются аналогично.


4. В трех контрольных работах оценки могли, например, распределиться следующим образом.

К1

К2

К3

А

5

4

3

В

4

3

5

С

3

5

4

5. Рассмотрим три квадрата при одной из вершин куба. Для раскраски этой тройки квадратов необходимо использовать все три краски. Всего имеется 24 квадрата, которые разбиваются на 8 таких троек (соответственно количеству вершин куба). Следовательно, имеется по 8 квадратов каждого цвета. На развертке куба указан пример раскраски, удовлетворяющий условию задачи краски обозначены 1,2,3).

ИПКиППРО ОГПУ

Банк_педагогической_информации