Орский филиал ООИПКРО

УМК «Математика»

 

Составитель: к.п.н., доцент кафедры

алгебры, геометрии, теории и методики

обучения математике ОГТИ

Е.П.Виноградова

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по УМК Н.Б.Истоминой

 

Преемственность в изучении курса «Математика»

 между основной и начальной школой

 

Тема «Натуральные числа и дроби»

 

Логика построения содержания начального курса матема­тики, в основе которой лежит тематический принцип, позволяю­щий сориентировать курс на усвоение системы понятий и общих способов математических действий.

Методические подходы к усвоению школьниками математических понятий, в основе которых лежит установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими (графическими) и символическими моделями, а также формирование у учащихся представлений об изменении, правиле (законо­мерности) и зависимости.

Система учебных заданий, процесс выполнения которых
носит продуктивный характер и, исходя из психологических особенностей младших школьников, определяется соблюдением баланса между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением. Ориентируясь на те же средства развития мышления учащих­ся (логику построения содержания курса, методические подходы к формированию понятий и систему учебных заданий), строи­лась методика изучения натуральных чисел и дробей в 5 классе, а также рациональных чисел в 6 классе.

Таким образом, основные направления методики изучения на­туральных чисел в начальных классах получили свое дальнейшее развитие при изучении натуральных чисел и дробей в 5 классе.

Реализация данной методики в учебниках 5, 6 классов нашла свое выражение: в замене объяснительных текстов диалогами, проблем­ными ситуациями, требующими активного использования приемов выбора, сравнения, классификации, преобразования, конструирова­ния; в отказе от репродуктивного повторения; в приоритете обучаю­щих заданий; в установлении взаимосвязи понятий курса 5,6 классов с теми понятиями, которые учащиеся усвоили в начальных классах.

1 класс

Отношения «столько же», «больше», «меньше» (установление взаимно однозначного соответствия). Счет. Количественная ха­рактеристика групп предметов. Цифры. Взаимосвязь количест­венного и порядкового чисел.

Натуральный ряд чисел от 1 до 9, принцип его построения. Присчитывание и отсчитывание по единице.

Смысл действия сложения и вычитания. Понятия целого и ча­сти. «Увеличить на...», «уменьшить на...». Сумма, слагаемые, зна­чение суммы. Переместительное свойство сложения. Уменьшае­мое, вычитаемое, значение разности. Взаимосвязь компонентов и результатов действия сложения и вычитания. Число и цифра нуль. Разностное сравнение.

Двузначные числа, их разрядный состав.

2 класс

Сочетательное свойство сложения.

Трехзначные числа, их разрядный состав.

Смысл умножения. Названия компонентов и результата умно­жения. Умножение на 0 и на 1.

Переместительное свойство умножения. Понятие «увели­чить в...».

3 класс

Сочетательное свойство умножения.

Смысл деления. Названия компонентов и результата деления. Взаимосвязь умножения и деления. Понятие «уменьшить в...». Кратное сравнение. Невозможность деления на нуль. Деление числа на 1 и на само себя.

Распределительное свойство умножения.

Деление суммы на число.

Четырехзначные, пятизначные, шестизначные числа. Понятия разряда и класса. Соотношение разрядных единиц. Разрядные слагаемые.

4 класс

Смысл деления с остатком. Способы деления с остатком. Взаимо­связь компонентов и результата деления (с остатком и без остатка).

5 класс

Натуральные числа. Повторение основных понятий, свойств, способов действий, которые изучались в курсе математики на­чальной школы.

Делители и кратные. Простые и составные числа.

Свойства делимости. Признаки делимости. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

Обыкновенные дроби. Дробь как часть целого. Изображение дробей на координатном луче. Основное свойство дроби. Сравне­ние дробей. Дробь как результат деления натуральных чисел. Сложение и вычитание смешанных чисел. Умножение и деление обыкновенных дробей.

Десятичные дроби. Запись и чтение десятичных дробей. Срав­нение десятичных дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей. Умножение и деление десятичных дробей на 10,100,1000... Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей.

6 класс

Обыкновенные и десятичные дроби. Конечные и бесконеч­ные десятичные дроби.

Рациональные числа. Положительные и отрицательные чис­ла. Координатная прямая. Противоположные числа. Модуль чис­ла. Сравнение рациональных чисел. Сложение и вычитание ра­циональных чисел. Умножение и деление рациональных чисел.

Первые шаги в формировании понятия числа у младших школьников связаны с выполнением ими определенных действий с предметными совокупностями. Количественная характеристика предметных групп осознается ребенком в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множе­ствами. В этом случае количественная характеристика числа на­ходит выражение в понятиях «столько же», «больше», «меньше».

Установление взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами связано с вычленением отдельных элементов и подготавливает детей к сознательному овладению операцией счета. На первом этапе счет выступает для ребенка как установление взаимно-однозначного соответствия между пред меткой совокупностью и совокупностью слов-числительных, расположенных в определенном порядке.

Таким образом, в основе формирования понятия числа, с од­ной стороны, лежит счет предметов, который служит для опре­деления их количества. Число выступает как результат счета и характеризует количество предметов данного множества («ко­личественное число»). С другой стороны, число как общая ха­рактеристика класса эквивалентных множеств осознается ре­бенком в процессе установления взаимно-однозначного соот­ветствия между элементами различных множеств. Ответы на вопросы «Больше?», «Меньше?», «Столько же?» могут быть по­лучены как способом пересчитывания, так и способом установ­ления взаимно-однозначного соответствия. Эти способы ис­пользуются параллельно, дополняя друг друга.

Каждое число, называемое в процессе счета, ставится в соот­ветствие одному из пересчитываемых предметов, характеризуя его порядок при счете («порядковое число»). Порядковая и коли­чественная характеристика числа тесно связаны. Для осознания взаимосвязи между количественным и порядковым числом ис­пользуются специальные практические упражнения.

Например, учитель показывает детям полоску с кружочками и, указывая на последний, говорит:

-      Это пятый кружок.

-      Кто может сказать, сколько кружков нарисовано на полоске? (Пять).

В предлагаемом детям материале даны задания, при выполне­нии которых они сначала усваивают (или уточняют, если они пришли в школу подготовленными в этом плане) последователь­ность слов-числительных, которой можно пользоваться для сче­та предметов. Затем овладевают операцией счета, то есть устанав­ливают взаимно-однозначное соответствие между предметом и словом-числительным. Заменяя слова-числительные знаками (в произвольном порядке), учащиеся знакомятся с цифрами.

В теме «Однозначные числа» учащиеся знакомятся с отрезком натурального ряда чисел от 1 до 9. Пересчитывая предметы данной совокупности и заменяя слова-числительные соответствующими знаками (цифрами), они получают ряд чисел, которым можно поль­зоваться при счете предметов. Принцип построения этого ряда осознается детьми в процессе выполнения различных заданий, кото­рые связаны с операцией счета, присчитывания и отсчитывания.

Знакомство учащихся с лучом, отрезком и способом измере­ния длины с помощью различных мерок позволяет ввести поня­тие «числовой луч» и применять его как наглядное средство для сравнения чисел, а затем для их сложения и вычитания.

В качестве математической основы разъяснения смысла сло­жения выступает теоретико-множественная трактовка суммы. Она легко переводится на язык предметных действий, что позво­ляет при формировании представлений о смысле сложения опи­раться на опыт детей, навыки счета и операции присчитывания и отсчитывания.

Для разъяснения смысла сложения используется идея соот­ветствия предметного действия его словесному описанию, мате­матической записи и изображению на числовом луче.

Для чтения математических записей вводится терминология: «выражение», «равенство», «слагаемые», «значение суммы». Употребление ее позволяет исключить такой термин, как «примеры». Интерпрета­ция сложения на числовом луче помогает ребенку абстрагиро­ваться от предметных действий.

Введение в программу темы «Целое и части» помогает детям осознать взаимосвязь между сложением и вычитанием (пред­ставление о смысле действия сложения), между компонентами и результатами этих действий. Процесс усвоения состава одно­значных чисел тесно связан с изучением таких понятий, как «уве­личить на...», «уменьшить на...», «целое и части», «число и цифра нуль», «разностное сравнение».

При изучении нумерации двузначных чисел деятельность уча­щихся направляется на осознание позиционного принципа деся­тичной системы счисления и на соотношение разрядных единиц. Для этого используются как предметные наглядные пособия, так и калькулятор.

Во втором классе в теме «Умножение» большое внимание уде­ляется разъяснению детям смысла этого действия как суммы одинаковых слагаемых и новой математической записи. Для этой цели предлагаются различные виды учебных заданий:

-      на выделение признаков сходства и различия данных выра­жений;

-     на соотнесение рисунка и числового выражения;

-     на запись числового выражения по данному рисунку;

-     на выбор числового выражения, соответствующего данному
рисунку, и т. д.

Параллельно с разъяснением смысла умножения проводится работа, целью которой является формирование навыков таблич­ного умножения. Составление таблицы умножения органически включается в темы: «Умножение», «Переместительное свойство умножения», «Увеличить в несколько раз», «Площадь фигуры», «Измерение площади», «Сочетательное свойство умножения».

В соответствии с логикой курса школьники сначала усваива­ют смысл умножения и его табличные случаи и только после это­го (в третьем классе) приступают к изучению деления. Использо­вание идеи изменения и соответствия предметных действий (предметных ситуаций) и математической записи позволяет рас­сматривать так называемые «деление по содержанию» и «деление на равные части» (без употребления терминологии) в их тесной взаимосвязи, а также во взаимосвязи с умножением, что дает воз­можность детям лучше усвоить понятие «уменьшить в несколько раз» и понятие кратного сравнения.

В теме «Деление» рассматривается взаимосвязь компонентов и результатов действий умножения и деления, которая лежит в основе составления равенств, соответствующих случаям таб­личного умножения.

Нумерация многозначных чисел в курсе третьего класса пред­ставлена темами: «Четырехзначные числа» и «Пятизначные и шестизначные числа». Основными способами усвоения деся­тичной позиционной системы счисления являются: анализ мно­гозначных чисел с точки зрения их разрядного состава, выявле­ние признаков сходства и различия в конкретных числах, постро­ение рядов чисел в соответствии с определенными правилами.

Содержание программы четвертого класса тоже соответствует тематическому принципу. Последовательность изучения тем поз­воляет органически включить в каждую следующую тему ранее пройденный материал и тем самым выстроить знания, умения и навыки в определенную систему.

Для разъяснения смысла деления с остатком, так же, как и при рассмотрении смысла действий сложения, вычитания, умножения и деления, используются задания на соотнесение предмет­ных действий и математической записи. Чтобы освоить способ деления с остатком, дети прежде всего должны осознать взаимо­связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком (с обязательным условием, что остаток меньше делителя).

С по­мощью специальной системы заданий до учащихся доводится смысл определения: «Разделить число а на натуральное число b -значит найти такие q и r, при которых а = bq + r, где 0 < r < b», но при этом, конечно, буквенная символика не употребляется.

В пятом классе продолжается работа, начатая в начальных классах.

Тема «Натуральные числа» - первая тема в 5 классе, основные цели изучения которой - систематизировать, обобщить и развить знания учащихся о натуральных числах; познакомить с новыми понятиями, к восприятию и усвоению которых учащиеся были подготовлены в начальных классах.

Данные цели реализуются при изучении всех вопросов, вклю­ченных в тему. При повторении курса математики начальных клас­сов вводится понятие «натуральное число» (в начальных классах этот термин не вводится, речь шла о числах, которые используют­ся для счета), вводятся также понятия «координатный луч» (в нана­чальных классах - «числовой луч»), «координата точки», «единич­ный отрезок» (в начальных классах - «мерка»), учащиеся обобща­ют на вербальном и символическом уровне изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов и знакомятся со способами округления (подготовительная работа к такому обоб­щению также осуществлялась в начальных классах).

В раздел «Натуральные числа» включается знакомство пяти­классников с классом миллионов и миллиардов, с двойным нера­венством, с помощью буквенной символики обобщаются свойст­ва сложения (переместительное и сочетательное) и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное) - терми­ны были введены в начальных классах.

Введение понятий «делимое» и «кратное», «простые и состав­ные числа» расширяет представления учащихся о натуральных числах и создает условия для включения заданий, нацеленных как на совершенствование вычислительных умений и навыков, так и на развитие логической грамотности учащихся. Изучение свойств делимости опирается на знания, умения и навыки, сформированные в начальном курсе математики: связь компонентов и результатов действий умножения и деления; заме­на выражений - суммы, разности, произведения, частного - зна­чением этих выражений и наоборот; деление суммы на число и др. Например, изучение свойств делимости суммы на натураль­ное число опирается на знание учащимися свойства «деление суммы на число». В третьем классе при знакомстве с этим свой­ством учащимся предлагается задание:

 

1. Догадайся! По какому правилу записаны выражения в каждом столбике? Вычисли их значения.

54 : 9                            63 : 7

(36+18): 9                   (49+14): 7

36 : 9 + 18 : 9               49 : 7 + 14 : 7

72 : 8                            56 : 7

(24 + 48): 8                  (42 + 14): 7

24 : 8 + 48 : 8               42 : 7 + 14 : 7

Запиши столбики выражений по такому же правилу и вычис­ли их значения:

36 : 4;  48 : 6;  27 : 3;  45 : 9

В процессе выполнения этого задания учащиеся осознают но­вый способ действия. А именно: делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число, затем на это число делится каждое слагаемое и получен­ные результаты складываются.

Для усвоения нового способа действия выполняются различ­ные задания. Например:

 

2. Чем похожи выражения в каждой паре? Чем отличаются?
       (22 + 50): 8           (40 + 16): 7

       (24 + 48) : 8          (42 + 14) : 7

      (36+18): 9           (49+14): 7

       (34 + 20): 9           (47 + 16): 7

3. Какие суммы делятся на 4:

   24 + 4           20 + 8          16 + 8                            24 + 5

   20 + 9           23 + 5          21+7                      20 + 7

  16+12           19 + 9          15 + 13                     16+15

В процессе выполнения этих заданий учащиеся рассматривают различные случаи деления суммы на число, а именно: если каждое слагаемое делится на данное число; если каждое слагаемое не де­лится на данное число; если одно из слагаемых делится на данное число, а другое не делится. Результаты этих наблюдений исполь­зуются в пятом классе при изучении свойства делимости суммы, знакомство с которым начинается с выполнения задания:

 

4. Чем похожи выражения? Вычисли их значения:

   (56 + 72): 8               (63 + 49): 7

   (36+ 81): 9                (64+ 56): 7

   (49 + 28): 7               (64 + 72): 8

   (56+ 48): 6                (45+ 81): 9

Анализируя признаки сходства и различия данных выраже­ний, учащиеся выдвигают предположения о свойствах делимости суммы. Эти предположения они проверяют на других числовых выражениях, которые составляют сами. Итогом работы является обобщенная формулировка свойства делимости, которая дана в учебнике:

-    если каждое из натуральных чисел делится на натуральное
число а, то и сумма этих чисел делится на это число;

-    если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся, то вся сумма на число b не де­лится.

Дальнейшая деятельность учащихся направлена на осознание этих свойств. Для этой цели им предлагаются задания:

 

5. Не выполняя вычислений, выпишите выражения, в которых:

а) число 9 является делителем суммы;

б) число 8 является делителем суммы;

в) сумма кратна числу 6;

г) сумма кратна числу 11.

(54 + 36 + 72 + 81 + 18): 9      (64 + 824 + 16 + 72): 8

(9 + 27 + 35 + 54 + 72): 9        (32 + 16 + 40 + 36 + 48): 8

(99 + 9 + 18 + 27 + 81): 9        (88 + 176 + 80 + 40 + 56): 8

(42 + 12 + 36 + 18 + 6): 6        (88 + 66 + 77 + 222): 11

(24 + 84 + 48 + 54 + 60): 6      (99 + 44 + 22 + 33): 11

(108 + 72 + 64 + 26 + 42): 6    (НО + 440 + 220 + 777): 11

Проверь себя, вычислив значения этих выражений.

6. Можно ли утверждать, что сумма чисел в каждом ряду делится на 2?

а) 2,4,6,8,9, 10;

б)  7,8, 12,14,26;

в) 24,26,28,32,34.

Изучение свойств делимости, в частности свойства делимости суммы, находит дальнейшее развитие при изучении признаков делимости. Например, при изучении признака делимости на 5. Знакомство с признаком делимости на 5 начинается с задания:

 

7. Подумай, можно ли сформулировать признак делимости на 5?

Ориентируясь на знание свойств делимости и знание признака делимости на 10, учащиеся могут рассуждать следующим образом:

«Все числа, которые делятся на 10, делятся и на 5. Это легко дока­зать, так как любое число, делящееся на 10, оканчивается нулем (или несколькими нулями) и его можно представить в виде произведения двух множителей, одним из которых будет число 10. Например,

 

42040 = 4204 • 10

77700 = 7770 • 10

Число 10 делится на 5. А если один из множителей делится на натуральное число, то и все произведение будет делиться на нату­ральное число».

Но рассуждения могут быть и такими:

«На 5 могут делиться те числа, которые оканчиваются цифрой 5, так как в этом случае мы можем записать число в виде двух сла­­гаемых, каждое из которых делится на 5. Например:

42045 =42040 + 5

 77705 = 77700 + 5».

Выполнение данного задания основано на знаниях, умениях и навыках, усвоенных на предшествующих этапах, и помогает осознать признак делимости на 5.

Введение понятий «наибольший общий делитель», «наимень­шее общее кратное» создает условия для совершенствования вы­числительных навыков и готовит учащихся к усвоению темы «Обыкновенные дроби».

Основные цели изучения темы «Обыкновенные дроби» - сформировать у учащихся умение пользоваться основным свой­ством дроби для преобразования обыкновенных дробей, для их сравнения, сложения, вычитания, умножения и деления; сформи­ровать навыки действий с обыкновенными дробями.

Изучение перечисленных вопросов в данной последователь­ности позволяет учащимся активно использовать при изучении нового материала ранее усвоенные (как в начальных классах, так и в 5 классе) знания, умения и навыки, что создает условия для самостоятельного выполнения заданий, нацеленных на усвоение нового материала.

 

Изучение темы «Основное свойство дроби» начинается с зада­ния, при выполнении которого у учащихся на предметном уров­не формируется и систематизируется представление о равных дробях.

 

1.  Миша и Маша купили два кекса. Миша разделил свой кекс
на 8 равных частей и съел две части кекса, а Маша разделила свой
кекс на 16 равных частей и съела 4 части. У кого кекса осталось
больше: у Миши или у Маши?

 

2.      Какую часть прямоугольника закрасили на каждом рисунке?


 

Дети замечают, что закрашенные части можно обозначить дро­бями:

для первого прямоугольника - 1/2,

для второго - 3/6,

для третьего - 6/12,

для четвертого - 12/24.

А можно сказать, что на всех рисунках закрасили половину прямоугольника, то есть 1/2 часть.

Сформированность приемов умственных действий позволяет учащимся самостоятельно справиться с заданием:

 

3. Можно ли утверждать, что:

                           

                        

4. Проверь себя, отметив на луче точки с координатами: 1/2,
3/6, 6/12, 12/24. За единичный отрезок прими 24 клетки в тетради. Что у тебя получилось?

Устанавливая соответствие между равенствами и геометриче­ской моделью, дети приходят к выводу: на координатном луче равные дроби соответствуют одной и той же точке.

Анализируя равенства, данные в следующем задании, и уста­навливая их сходства и различия, учащиеся приходят к осозна­нию нового способа действия.

 

5. Догадайся, как из данной дроби можно получить равную ей
дробь. Для этого сравни правые и левые части равенств в каждой
паре:   

      а)           б)          в)

                             

Опора на предметные модели и сформированное в начальных классах умение анализировать и сравнивать математические объ­екты, рассматривая их с точки зрения усвоенных ранее знаний, умений и навыков, позволяют учащимся самостоятельно сделать вывод о способе получения новой дроби, равной данной, подгото­вив их тем самым к восприятию нового способа действия: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же нату­ральное число, то получается равная ей дробь.

Для осознания основного свойства дроби учащиеся выполня­ют следующие задания:

 

6. В каждой паре выбери ту дробь, которая равна дроби 3/6.

                      

                     

7. Найди число, на которое умножили числитель и знаменатель каждой дроби, записанной в левой части равенства:

                       

                       

 

8. Подумай, можно ли дробь 3/6 привести к любому знаменателю, например:

              25, 50, 100.

 

9. Выбери дроби, которые можно привести:

а) к знаменателю 24: 5/4, 6/7, 3/8, 1/2, 3/5, 7/6;

б) к знаменателю 56: 3/14, 9/7, 9/15, 5/8, 13/28, 7/8.

Таким образом, учащиеся в результате практических дейст­вий, анализа ситуаций, соотнесения различных моделей подхо­дят к осознанию основного свойства дроби, формулируют его и применяют при выполнении различных заданий.

Для сравнения приведем подход к изучению основного свой­ства дроби, данный в учебнике «Математика 6» (авт. Н. Я. Виленкин и др.). Основной целью этого курса математики является формирование у учащихся знаний, умений и навыков в процессе выполнения учебных заданий по образцу, данному в объясни­тельном тексте или учителем.

Так, изучение основного свойства дроби начинается с объяс­нительного текста. Этот текст может быть изложен учителем или самостоятельно прочитан учеником. Приведем объяснительный текст, данный в учебнике, целиком:

«Разделим круг на 4 равные части и 3 из них закрасим, а потом каждую четверть круга разделим еще на 5 равных частей (см.рис.).

 

Тогда весь круг окажется разделенным на 4 • 5 = 20 частей, а в трех закрашенных четвертях круга будет 3 • 5 таких частей


 

Поэтому:    , то есть

Это равенство можно записать и так: 

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получиться равная ей дробь. Это свойство называют основным свойством дроби. Например:

                        

                    

Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа».

Как мы видим, этот небольшой по объему объяснительный текст насыщен новой для ребенка информацией: новыми поняти­ями, способами действий. Эту информацию ребенок еще не успе­вает осознать, а от него уже требуется ее применение при выпол­нении заданий, следующих за объяснительным текстом. Так, на­пример, ориентируясь на объяснения учебника, ребенок должен выполнить задание:

 

1. Используя рисунок, объясни, почему равны дроби:

      

 

         

 

При объяснении задания ребенок может только повторить текст учебника, в котором сказано, как получаются равные дроби, то есть повторить образец, данный в учебнике.

Последующие задания также требуют от учащихся применения полученной готовой информации, при этом предполагается, что они ее уже осознали и усвоили на основе данного объяснения, и те­перь это нужно проверить. Для этой цели предлагаются задания:

 

2.            Начертите два отрезка АВ и CD длиной по 8 см. Отметьте цветным карандашом 3/4 отрезка АВ и 6/8 отрезка CD. Сравните с помощью циркуля цветные части отрезков АВ и CD.

 

3.     Начертите координатный луч, приняв за единичный отрезок 18 клеток тетради. Отметьте на координатном луче точки
с координатами 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 1/6, 2/6, 3/6,
4/6, 5/6, 1/3, 2/3. Какие из этих чисел изображаются на координатном луче одной и той же точкой? Запишите соответствующие равенства.

 

4.            Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби 1/5, 3/7,
25/8, 39/40 на 5. Напишите соответствующие равенства.

5.            Разделите числитель и знаменатель каждой дроби 6/3, 9/6,
15/9, 21/33 на 3. Запишите соответствующие равенства.

 

Таким образом, новые понятия и способы действия даются ученику в готовом виде, он должен их воспринять, осознать и применить. При этом учащиеся не подводятся к необходимости введения новых знаний. Тем самым не реализуется мотивационная и обучающая функции обучения, не активизируется познава­тельная деятельность учащихся. Задания в большей степени но­сят контролирующий характер.

Таковы отличительные черты различных методических под­ходов к изучению основного свойства дроби.

Продолжим рассмотрение методики изучения натуральных чисел и дробей в курсе «Математика» в соответствии с концепци­ей развивающего обучения математике.

Основные цели изучения темы «Десятичные дроби» - сфор­мировать навыки чтения, записи, сравнения и вычислений с деся­тичными дробями, их округления. При изучении темы рассмат­риваются возможности записи чисел в различных эквивалентных формах. Для этой цели предлагаются задания на запись нату­ральных чисел в виде обыкновенной и десятичной дроби, на за­пись десятичных дробей в виде обыкновенных, на выбор обыкно­венных дробей, которые можно записать в виде десятичных, пользуясь основным свойством дроби.

Эти знания и умения развиваются и совершенствуются в шестом классе, где в начале учебного года изучается тема «Обыкновенные и десятичные дроби». Основные цели этой темы - расширить пред­ставления учащихся о возможностях записи чисел в различных эк­вивалентных формах; сформировать навыки вычислений с обыкно­венными и десятичными дробями; познакомить с бесконечной деся­тичной дробью, возникающей при делении натуральных чисел. Дальнейшее развитие знаний учащихся о числе происходит в теме «Рациональные числа», где они знакомятся с положитель­ными и отрицательными числами, и у них формируется пред­ставление о рациональном числе.

Основные цели изучения этой темы по линии числа заключа­ются в том, чтобы сформировать у учащихся представления о множестве рациональных чисел, научить сравнивать рацио­нальные числа и выполнять с ними арифметические действия. Понятие рационального числа определяется после темы «Положительные и отрицательные числа» (на вербальном уровне) и в теме «Умножение и деление рациональных чисел» (на симво­лическом уровне). При введении понятий «противоположные числа», «модуль числа», при сложении и вычитании рациональ­ных чисел большое внимание уделяется их интерпретации точка­ми координатной прямой.

Таким образом, преемственность между начальными классами и 5-6 классами основной школы находит свое выражение:

-    в единстве логики изложения содержания. Тематический принцип построения курса обеспечивает изучение математического содержания в органической связи каждой темы с предыдущей, что создает условия для повторения ранее изученных вопросов на новом уровне, позволяет сопоставлять и соотносить их в самых различных аспектах, обобщая и систематизируя их, устанавливая причинно-следственные связи. При этом, если учащи­еся начальной школы в большей мере опираются на жизненный опыт, интуицию, то ученики 5-6 классов активно применяют уже сформированные понятия и способы действий;

- в единстве методических подходов к изучению математических понятий, свойств и способов, в основе которых лежат идеи изменения свойств (признаков) предметных, образных, схематических, символических и вербальных моделей, установление соответствия между ними, выявление законо­мерностей и различных зависимостей.

Каждое из этих направлений реализуется в системе учебных заданий, отражающих цели, содержание, методы и формы обуче­ния и обусловливающих характер учебной деятельности ученика.