Составитель: Стрижанова И.В.,

методист УМК «Математика»

Орского филиала ОО ИПК РО

 

лекция

 

Тема: Развитие познавательной деятельности учащихся через решение задач с параметрами по геометрии.

Цель: выделить логическую структуру процесса решения задачи с параметром в геометрии.

ТСО: персональный компьютер, мультимедийный проектор.

Лекция рассчитана на два часа.

 

ПЛАН

1.      Решение задач по геометрии с параметрами один из  эффективных приемов организации учебно-познавательной деятельности учащихся.

2.      Решение задач с практическим содержанием.

3.      Решение задач на построение.

4.      Примеры задач с «алгебраическим» и с «геометрическим» параметром.

 

                                                                          ТЕЗАУРУС

 

Активность - стремление личности к энергичной целенаправленной деятельности- способность подниматься над уровнем требований ситуации, ставить цели, избыточные с точки зрения исходной задачи, преодолевать внутренние и внешние ограничения деятельности.

Алгоритм - общепонятное и однозначное предписание последовательного преобразования исходных данных в искомый результат.

Деятельность- процесс активности человека, связанной с его взаимодействием с окружающей действительностью и направленностью на определенный предмет деятельности ( по А.Н.Леонтьеву).

Задача - данная в определенных условиях цель деятельности, которая должна быть достигнута преобразованием этих условий согласно определенной процедуре.

Знания - результаты познания человеком окружающего мира.

Качество знаний - свойство, составляющее их устойчивую, постоянную и выявляющую их сущность характеристику (по И.Я. Лернеру).

Методическая система- структура, состоящая из таких компонентов, как цели, содержание, методы, средства и организационные формы обучения (А.М. Пышкало).

Обобщенный прием деятельности - полученный на основе анализа частных приемов путем выделения общего (инвариантного) содержания деятельности по решению конкретных (частных) задач (по Е.Н. Кабановой-Меллер).

Обучение - целенаправленный процесс, осуществляемый путем внешнего управления учебно–познавательной деятельностью ученика и ведущей к усвоению им знаний, умений и навыков, к его образованию и развитию.

Параметр «от греч. Parametron - отмеривающий» в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода. «БЭС»

Познавательная деятельность - накопление и усвоение индивидом продуктов развития общества.

Познавательные процессы - внимание, ощущение, восприятие, представление, воображение, память, мышление.

Творчество- деятельность, результатом которой является создание материальных и духовных ценностей.

Уровни активности -  а) запоминающая и воспроизводящая, б)творческая, в) социальная.

Учебная деятельность (УД)- деятельность по усвоению накопленных обществом знаний о предмете изучения и общих приемов решения связанных с ним задач.

Учебно-познавательная деятельность (УДП)- совокупность познавательных процессов, характеризующих процесс усвоения в целом, основной вид учебной деятельности.

Учебные действия - способы преобразования учебного материала в процессе решения учебных задач.

Цель деятельности- 1) мысленно представляемый ее результат; 2)уровень достижения результата.

        

1. Введение.

Совершенствование методов обучения и методической системы в целом является одной из актуальнейших задач современной педагогической науки и включает в себя разработку вопросов всесторонней активизации процесса обучения и воспитания. Особое внимание в этих разработках уделяется необходимости усиления учебно-познавательных связей между изучением учащимися математических сведений и фактов, составляющих теоретическую основу курса, и между их учебной работой в процессе осмысливания и закрепления этого теоретического материала.

Всякий учебный материал имеет свою логическую структуру, на которой держится плоть конкретных фактов и сведений. Вследствие этого становиться очевидным, что учебно-познавательная деятельность должна, кроме математических целей изучения нового материала, ставить перед учащимися цель уяснения логической структуры процесса получения новой информации, уяснения двусторонней связи между изучением теории и практическими задачами.

Отсюда следует, что в сознании учащихся должна отпечататься сама динамика познавательного процесса. Они должны не просто знакомиться с теорией предмета, а видеть источники возникновения ее и практическую целесообразность изучения этих вопросов, не просто решать задачу, указанную учителем, приобретая нужные навыки и умения, а рассматривать условия, в которых возникают задачи данного  типа.

Решение математических задач, как известно, является основным видом учебной деятельности, посредством которой учащиеся приобщаются к приемам, умениям, навыкам творческой деятельности. Решение математических задач приобретает единую учебно- познавательную направленность в том случае, когда оно реализует решение одной и той же дидактической задачи изучения математической закономерности , на основе анализа частных случаев. Даже фрагментарная, но осознаваемая работа учителя математики по обучению учащихся основным приемам учебной деятельности повышает уровень решения учебных задач учащимися.

По степени общности выделяют такие классы приемов и способов познавательной деятельности:

§         приемы и способы решения конкретных, отдельных задач и проблем, выполнения тех или иных практических работ;

§         приемы и способы решения определенных классов задач и проблем;

§         приемы и способы познавательной деятельности, приме­няемые в данной теории (или науке);

§         общенаучные приемы и способы познавательной деятель­ности.

Первые описываются алгоритмическими предписаниями ре­шения данной отдельной задачи, вторые — класса задач, третьи — логическими операциями и правилами их применения, четвертые — приемами и способами логики познания.

Изложение материала, доказательство предложений, реше­ние задач всегда включает указанные приемы и способы дея­тельности (в явной или неявной, в осознанной или неосознанной форме). В современных учебных пособиях по математике они, как правило, выделяются недостаточно. Задача состоит в том, чтобы приемы и способы познавательной деятельности постоян­но демонстрировались наряду с изучением понятийного аппара­та данной теории. Учащийся, не владеющий общими приемами познавательной деятельности, не сможет самостоятельно учить­ся, самостоятельно творить.

По своей форме приемы и способы деятельности описываются: а) алгоритмическими предписаниями, алгоритмическими схемами, блок-схемами; б) правилами и законами логики.

В процессе своей деятельности учащийся пользуется гото­выми алгоритмическими предписаниями, правилами и законами или самостоятельно их составляет. В первом случае им выпол­няется репродуктивная, а во втором — продуктивная деятель­ность.

Репродуктивный путь формирования того или иного способа деятельности включает такие этапы: 1) разъяснение учащимся схемы деятельности (инструктаж); 2) изучение ими этой схемы; 3) выполнение нескольких упражнений по этой схеме; 4) установление границ применимости этой схемы.

Продуктивный путь формирования того или иного способа деятельности включает: 1) решение проблемы или задачи 2) описание схемы деятельности, ее построение; 3) решение аналогичной проблемы или задачи по составленной схеме деятельности; 4) уточнение схемы деятельности; 5) решение еще одной аналогичной задачи или проблемы обобщенного типа; 6) уточнение полученной ранее схемы деятельности; 7) установление границ пpименимости этой схемы; 8) поиски ее обобщений, конкретизаций и аналогов.

В процессе обучения указанные схемы применяются в развернутой и свернутой форме.   Если учитель осуществляет руководство этим процессом своевременно, то еще в стенах школы учащиеся приобретают необходимые умения и навыки рациональной организации учебной деятельности. Это , в свою очередь, формирует у них общий стиль рациональной деятельности в целом, различные межпредметные умения и навыки, осознание сущности все более общих методов познания действительности и самого себя, саморазвитие и самовоспитание средствами разных наук. Использование приемов этой деятельности со временем приобретает свернутый характер, становится основой повышения уровня знаний и развития способностей, создает предпосылки для будущей комфортной профессиональной деятельности.

Существует много эффективных приемов организации учебно-познавательной деятельности учащихся. Одним из них является рассмотрение целой серии «родственных » задач, например, задач с параметром  в геометрии.

Задачи с  параметрами в геометрии  можно сгруппировать в задачи двух типов:

1) по содержанию - на построение, на вычисление;

2) по структуре - на задачи с «алгебраическим» и с «геометрическим» параметром.

При этом «алгебраический» тип задач с параметрами в геометрии по своей сути отличается от алгебраических задач только фабулой. (При каком значении параметра, являющегося некоторым измерением геометрической фигуры (высота, сторона, угол, площадь, объем  и т. д.), другая ее характеристика удовлетворяет некоторому заданному условию (чему-то равна, минимальна или максимальна, находится в заданном интервале).)

Задачи с «геометрическими» параметрами это многовариантные геометрические  задачи.

 Но и в том, и другом случае значение параметра определяет

-         количество возможных способов решений в зависимости от условия задачи ;

-         количество возможных решений в зависимости от условия задачи ;

-         количество решений в зависимости от области определения полученного результата решения задачи.

Поэтому именно задачи с параметром в геометрии (практически) нагляднее всего показывают необходимость соблюдения логической структуры приема решения задач такого типа.

 

Решение задач с практическим содержанием

 

К задачам с практическим содержанием (практическим задачам) относятся геометрические задачи на вычисление.

Решение всех этих задач подчиняется единой общей схеме, которую постепенно формируем у учащихся.

Схема состоит из следующих этапов:

1. Изучение задачи.

Осуществление структурного анализа задачи: а) выделение объектов, входящих в задачу, и отношений между ними; б) выделение величин, рассматриваемых в задаче, в) установление отношений между величинами, г) припоминание или составление соотношений между величинами.

Составление плана решения задачи в общем виде.

Построение математической модели (составление уравнения или неравенства, применение готовых соотношений формул, тождеств и т.п.).

Решение задачи в рассматриваемой математической модели.

Проверка правильности моделирования, решения в рассматриваемой модели.

Исследование полученных решений в данной практиче­ской ситуации, получение окончательного ответа.

Поиск других способов решения задачи. Выделение рационального.

Описание решения задачи, выделение общей схемы решения.

Составление обратных задач, их решение.

Установление границ применения способа решения зада­чи (для задач с другим практическим содержанием и другими числовыми данными).

Составление обобщенной задачи, ее решение и исследо­вание.

В минимально свернутом виде придерживаемся лишь эта­пов 1, 2, 3, 4, 6,. В нужный момент развертываем до полной схемы.

По способам поиска решения задачи следует выделить та­кие основные пути:

а) аналитический (составлением выраже­ний, уравнений и неравенств и их решением);

 б) матричный (составлением таблиц с двумя и тремя входами) для исследования ситуации;              в) графический (использованием рисунков и чертежей); г) применение известных образцов (по аналогии  или обобщению).

 

1.Зачада.

Пусть, например, после ознакомления с теоремой Пифагора учащиеся решают задачу: «Найдите высоту дерева по данным, указанным на рисунке».

               

Условие задачи определяет два числовых данных: длину катета, являющегося основанием треугольника (а=14 м), и величину угла, противолежащего этому катету (30°).

Изменяя заданную длину катета а, учитель выясняет, анализируя с классом ответы отдельных учащихся, что при этом ход решения задачи и этапы рассуждений не меняются. В общем виде решение дается записью: . При получении буквенных выражений   ответа необходимо каждый раз обсуждать с учащимися, при каких значениях букв имеет смысл полученный результат. Например, очевиден ответ учащихся на этот вопрос при условии, что а < 0, а = 0. При поло­жительных значениях а полученный результат имеет смысл, однако и здесь должны быть свои наименьшие и наибольшие значения. Так, наибольшие значения а, очевидно, определяются наибольшим значением искомой высоты дерева .

Совсем иное положение возникает при изменении другого числового данного — величины угла при вершине. В общем случае, когда эта величина произвольна, аналитический подход становится невозможным (если не применять тригонометрии). Учащиеся — при помощи наводящих вопросов и комментариев учителя — приходят к графическому способу построения данного треугольника (в определенном масштабе) и измерения искомого элемента. После разбора этих задач целесообразно спросить учащихся: нет ли других, таких же «удобных» число­вых данных величины угла при вершине, при которых становит­ся возможным аналитический способ решения задачи. (Многие учащиеся самостоятельно находят ответ: 60° и 45°.)

Эти дополнительные вопросы, казалось бы, фиксируют вни­мание учащихся на частных случаях. Однако именно анализ частных случаев является зачастую основой для разбора со­ответствующих практических ситуаций. К примеру, в рас­сматриваемой, ситуации для учащихся становится ясной про­стота решения задачи при условии, что величина угла при вершине треугольника равна 45° (здесь искомая высота всегда равна длине данного катета). После этого учитель может сооб­щить, что именно такой треугольник чаще всего строится работниками лесного хозяйства, когда требуется определить высо­ту определенного дерева. Учитель предлагает учащимся найти идею самодельного прибора (модели равнобедренного прямоугольного треугольника), с помощью которого можно быстро определять искомую высоту дерева: она равна расстоянию че­ловека до основания дерева плюс высота человека (рис. 2).

При построении серии логически связанных друг с другом учебных заданий важно, какое из них явится первичным, исходным. При этом, учитывая интересы фронтальной работы, учителю нередко приходится руководствоваться, прежде всего, соображениями доступности решения данной задачи, принципом «от простого к сложному».

2. Задача.  В основании пирамиды лежит правильный треу­гольник, стороны которого равны а. Два боковых ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы, равные α, а грань, заключенная между ними, наклонена к основанию под углом β. Найти объем пирамиды.

1. Анализ задачи. Данная задача является геометриче­ской задачей на вычисление с параметрами (буквенными данны­ми). Поэтому в первую очередь надо установить возможные области изменения параметров. Очевидно, что а длина стороны основания пирамиды — может быть любым положительным чис­лом, т.е.

a>0.                          (1)

Углы α, как углы наклона боковых ребер к основанию, т.е. уг­лы между этими ребрами и их проекциями на основание, могут быть лишь острыми:

0°<α<90°.                 (2)

Что касается угла β — двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания, то этот угол может меняться в пределах от 0° до 180°:

0°<β<180°.              (3)

При этих условиях, которые мы уточним в процессе дальней­шего решения, можно перейти к поиску решения. Но предвари­тельно нужно построить схематическую запись задачи, и в частно­сти чертеж заданной пирамиды, ибо иначе трудно будет искать и выполнять план решения.

2. Схематическая запись задачи. Построим задан­ную в задаче пирамиду. Но очевидно, что чертеж этой пирамиды существенно зависит от того, как наклонена указанная боковая грань к плоскости основания, т.е. каково значение параметра β. Возможны три случая:

1) 0°< β <90°;        2) β =90°;     3) 90°< β <180°.

 

Рис. 1                             Рис. 2                             Рис. 3

Этим трем случаям соответствуют три различных вида пирами­ды, изображенные соответственно на рисунках 1-3.

Для того чтобы построить углы наклона ребер AM и BM к плоскости основания, опускаем из вершины M перпендикуляр МО на плоскость основания. Тогда, очевидно, АО и ВО будут проекциями ребер АМ и ВМ и, следовательно, угол МАО и угол MBO будут указанными углами. Для того чтобы построить линейный угол двугранного угла, образованного гранью AMB с плоскостью основания, проводим OD перпендикулярно AB  (заметим, что на рис. 2 точки О и D совпадают). Тогда по известной теореме о трех перпендику­лярах DM перпендикулярно AB. Так как треугольник OAM равен треугольнику OBM (объясните почему), то АМ=ВМ. Отсюда следует, что высота MD проходит через середину AB (почему?). Учитывая, что ABC правильный, полу­чаем, что продолжение OD должно проходить через верши­ну С (почему?). Тогда  угол СОМ и есть линейный угол указанного двугранного угла.

Исходя из всего этого, условия задачи можно записать так.

Дано:  

1)     АВ=ВС=СА=а;

2)     МО перпендикулярно (АВС);

3)     OD перпендикулярно АВ;

4)     угол ОАМ = углу ОВМ = α и угол СDМ = β.

Найти: V пирамиды .

3—5. Поиск и осуществление решения. Иссле­дование задачи.

Эти три этапа процесса решения в данном случае удобно производить совместно.

По известной формуле имеем:

,

где S - площадь Δ АВС, а h =MO.

Так как Δ АВС правильный со стороной а, то

     (5)

Осталось найти h. Проще всего найти h для второго случая, когда β = 90º (рис. 2). Из прямоугольного Δ АОМ, где 

,

находим:

    (6)

Подставив значение S и h из (5) и (6) в формулу (4), получаем для данного случая, что

 .    (7)

В остальных случаях можно поступить так. Из прямоугольного Δ АОМ находим:

     (8)

Из прямоугольного Δ ODM имеем:

    

Для первого случая, когда угол β острый, получаем:

    (9)

Для случая, когда угол β тупой, получаем:

   (9΄)

Теперь из прямоугольного Δ ADO, где

имеем:

.

Подставляя сюда значения AO и OD из формул (8) и (9) или (9΄), получим:

Отсюда

Это выражение имеет смысл лишь тогда, когда tg2β - tg2α > 0 или

Отсюда следует, что

β > α    (10)

и

α + β < 180º.   (11)  

Эти условия уточняют область изменения параметров. При их выполнении найдем:

Учитывая условия (2) для рассматриваемых двух случаев, получим:

Подставляя в формулу (4), найдем окончательно:

6. Проверка. В данном случае проверка решения сводится к тому, чтобы убедиться, что по найденным формулам действительно можно вычислить V такое, которое принадлежит области его определения. Очевидно, что должно соблюдаться лишь одно условие: V > 0. Рассматривая полученные формулы для V для всех трех случаев и учитывая указанные при этом условия задачи, легко убеждаемся в выполнении указанного условия.

7. Ответ: при β > α > 0˚, α  < 90˚; α + β <180˚, а > 0:

8. Исследование решения. Просматривая внимательно проведенное решение, замечаем, во-первых, что при решении подобных задач важно предварительно при анализе задачи установить области изменения параметров. Но оказывается, что непосредственно из условия задачи эти области изменения не всегда можно найти. В данном случае в процессе решения мы значительно уточнили предварительно найденную область, установив дополнительные условия (10) и (11).

Следовательно, при решении подобных задач надо анализировать каждый шаг решения с точки зрения его выполнимости при предварительно найденных или заданных условиях и при необходимости эти уточнять, тем самым суживая области изменения параметров.

Во-вторых, можно найти h для случаев острого и тупого углов несколько иначе, а именно:

При выполнении условий (10) и (11) получаем для обоих рассматриваемых случаев одну общую формулу:

Тогда ответ задачи принял бы такую форму: при β > α > 0˚, α < 90˚, α + β < 180˚, а > 0

 

3.Задача.

Шар вписан в правильную тре­угольную пирамиду. Диаметр шара d = 100 мм, сторона основания а = 200 мм. Найди длину бокового ребра пирамиды.

Анализ. Строим чертеж пира­миды МАВС и вписанного шара с центром O1 (рис. 1).

Шар касается всех граней пира­миды: основания ABC в точке О, ко­торая является пересечением медиан [AD] и [BE], боковых граней — в точках К и F, принадлежащих апофе­мам [MD] и [ME].

Центр О1   шара   принадлежит высоте [МО] пирамиды.

.

Так как пирамида правильная, то |МА| = |МВ| = |МС|, |АВ| = |ВС| = |СА| = а, , .

Боковое ребро [МА] пирамиды, как искомое, является сто­роной треугольников MAD и МАО, в которых неизвестны все стороны. Легче найти стороны [АО] и [ОМ]   треугольника ОАМ.

План решения задачи. Находим длину отрезка [АО], как части медианы [AD] в треугольнике ABC, а также длину отрезка [CD]. Из прямоугольного треугольника MOD нахо­дим [ОМ].

Составление общей формулы или последовательности выражений.

Высота в равностороннем треугольнике со стороной а рав­на , т.е. .

Так как |AO| : |OD| = 2 : 1, то   и .

В прямоугольном треугольнике MOD имеем [МО]  [OD], [O1K]  [MD], так как О1К — радиус шара, проведенный в точ­ку К касания его с плоскостью МВС.

Поэтому ∆MOD ~ ∆MKO1 (они имеют общий острый угол и сами прямоугольные).

Поэтому .

Если   обозначить   |OM| = h,   то ,   . Подставляя эти значения, получаем, уравнение относительно h, корни которого равны h1 = 0 и .

Проверка задачи и исследование решения.

Задача имеет решение при а > 0, d > 0, h > 0 и .

Поэтому   и  при , а > 0, d > 0.

При а = 20 см и d = 10 см получаем |МА| ≈ 134 мм.

После этого можно рассмотреть обобщения этой задачи, когда основание пирамиды есть:

а) равнобедренный треугольник, б) произвольный треуголь­ник (с конгруэнтными боковыми ребрами), в) квадрат, ромб и т.д.

При рассмотрении данных примеров мы указали лишь на существенные элементы общей схемы решения задач. Для уп­равления ходом решения задачи применяем метод разверты­вания схемы действий и метод обратной связи. С одной сто­роны, даем учащимся установочные вопросы для выделения тех или иных элементов схемы, а с другой — демонстрируем соответствующие элементы в виде образца.

4. Задача. Объем конуса в 2 раза больше объема впи­санного в него шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение. Построим схематическую запись задачи — мо­дель конуса. Для этого проведем сечение конуса с вписанным в него шаром плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение). В сечении получим равнобедренный треугольник с впи­санной в него окружностью. Так как боковая сторона этого треу­гольника есть образующая конуса, а высота треугольника есть ось конуса, перпендикулярная к плоскости основания конуса, то угол между боковой стороной и основанием треугольника есть искомый угол между образующей и плоскостью основания. Получаем та­кую модель задачи (рис.).

Дано:

АВМ — осевое сечение конуса;

АМ=ВМ; МК перпендикулярно АВ;

(О; ОК) — осевое сечение вписанного шара;

Vк: Vш = 2.

Найти: угол МАК.

Построенная наглядная модель задачи облегчает поиск и ре­шение задачи.

По известным формулам найдем объемы конуса и шара:

     

По условию имеем:

Получаем:

   (1)

         Выразим все отрезки, входящие в равенст­во (1), через искомый угол МАК = х и от­резок АК = у. Из Δ AMK находим:

МК = АК tg МАК = у tg х.   (2)

Из AOK находим:

ОК=АК tg ОАК.

Очевидно, OA есть биссектриса угла MAK, поэтому

   (3)

 

Подставим найденные выражения из (2) и (3) в (1)

 

Получаем:

Это тригонометрическое уравнение есть модель исходной задачи при условии, что                                                          0° < x < 90°. Решив уравнение при этом условии, найдем ответ задачи.

 


Решение задач на построение

 

Задачи на построение занимают особое место в курсе гео­метрии. Во-первых, они позволяют моделировать те или иные практические ситуации, а во-вторых, устанавливают связь меж­ду геометрией и черчением, геометрией и рисованием. Кроме то­го, они обеспечивают хорошую подготовку к решению нестан­дартных задач, развивают логическое мышление.

Общая схема решения задач на построение известна. Она состоит из четырех этапов: анализа, построения, доказательст­ва, исследования. Этой схемы придерживались еще в Древней Греции (IV—III вв. до н. э.).

Схема имеет свернутый характер.

Полная схема решения задачи на построение включает:

1.      рассмотрение практической ситуации, например, связан­ной с разметкой изделий различной формы или с графически­ми работами (в черчении или рисовании);

2.      формулировку задачи;

3.      анализ задачи;

4.      составление  общего  плана  решения   задачи  (указание последовательности решаемых элементарных задач);

5.      построение фигуры данными инструментами;

6.      проверку правильности построения фигуры. Доказательст­во того, что построенная фигура искомая;

7.      исследование обобщением задачи. В исследование входит поиск условий, при которых задача имеет решение, их количество в каждом из выделенных случаев. Запись условий, при которых задача имеет решение, осуществляется на алгебраическом языке (посредством составления соотношения между заданными элемен­тами);

8.      решение задачи для каждого из выде­ленных случаев при исследовании;

9.      поиск других способов решения, выделение рационального;

10.  составление других задач, решаемых данным методом. Рассмотрение обобщенных и аналогичных задач.

При составлении плана решения задачи (пункт 4) возмож­ны различные способы поиска неизвестных точек и линий, в частности: метод сведения данной задачи к более простой или известной, метод пересечения множеств (он нами проиллюст­рирован на примере), метод геометрических преобразований. Для поиска отрезков и углов применяется алгебраический способ. Общий подход составления плана действий (наиболее рациональный) следующий: сначала припоминаем все, что из­вестно о данных и искомых элементах фигуры, какие из них можно построить; затем, если их построение не приводит к це­ли, строим дополнительные элементы (которые могут быть по­строены при помощи данных), и, наконец, снова анализируем возможности построения искомых элементов. Процесс рассуж­дения продолжаем до тех пор, пока не получим плана построе­ния фигуры.

Пример. В черчении и при разметке изделий приходится решать задачи, которые приводят к построению треугольника по некоторым его известным элементам.

Сколько элементов определяет треугольник? Какие?

Формулируем задачу: «Построить треугольник по сторо­не а, высоте ha, медиане mа».

Анализ. Если ABC— искомый треугольник, то |ВС| = а, |AD| = ma, |AF|=ha, |BD| = |DC|, |AF|  |BC|, вершина А на­ходится на расстоянии ha от прямой ВС и на расстоянии mа от середины D отрезка ВС. Треугольники BFA, DFA, CFA — пря­моугольные (рис. 2).

Циркулем, линейкой и прямоугольным треугольником мож­но построить: отрезок ВС, середину отрезка ВС, провести окружность с центром D и радиусом mа, провести прямую, па­раллельную (ВС) на расстоянии ha.

План построения фигуры:

а) Строим отрезок ВС длиной а и находим его середину D. б) Из середины D отрезка ВС, как из центра, проводим дугу окружности радиусом mа. в) На расстоянии ha проводим прямые а1 и а2, параллельные (ВС).

Точка пересечения прямой а1 с дугой окружности D(ma) является вершиной А треугольника ABC.

Построение треугольника.

а) Проводим произвольную прямую m и на этой прямой берем    произвольную точку В. Из точки  В радиусом а описы­ваем дугу и находим точку  ее  пересечения  с  прямой m (т.е. откладываем |ВС| = а),

б) Находим середину D отрезка ВС. С этой целью раствором циркуля, большим , проводим дуги из центров В и С и находим точки их пересечения. Отрезок MN пересекает [ВС] в искомой точке D (рис. 3).

в) Из точки D радиусом mа описываем дугу окружности.

г) На серединном перпендикуляре от­кладываем |DM1| = |DM2| = ha и проводим через точки М1 и М2 прямые а1 и а2, перпендикулярные (DM) при (помощи прямоугольного треугольника).

Точка А пересечения одной из прямых а1 или а2 с окружностью D (ma) есть искомая вершина ΔАВС.

Если обозначить через D (ma) построение окружности с центром D и радиусом ma, через ma  — построение прямой m и т.д., то получим следующую алгоритмическую схему построения фигуры:

m   В (а) С =       M, N =   (MN) D =   D (ma) A =   (AB) (AC).

Описание процесса построения фигуры можно осуществить одним из этих способов. Преимущество алгоритмического способа в том, что он указывает последовательность операций, выполняемых циркулем и линейкой, обучает учащихся построению алгоритмов.

Проверка правильности построения фигуры доказатель­ством.

По построению |ВС| = а,   и |DA| = ma.

Если проведем высоту [AF], то [AF] [DM]. Поэтому |AF| = |DM| = ha, как параллельные отрезки, ограниченные параллельными прямыми.

Следовательно, треугольник ABC содержит элементы а, ha, ma.

Исследование задачи при обобщении данных величин а, ha и ma.

Устанавливаем область существования данных величин, при которых задача имеет смысл.

а) Задача имеет смысл при а > 0, ha > 0, ma > 0 и при условии, что окружность D(ma) пересекается или касается пря­мой а1, т.е. при maha.

б) Выделяем   возможные   случаи   при  решении   задачи: 1) ma > ha; 2) ma = ha.

в) Устанавливаем количество решений в каждом из выде­ленных случаев.

Если ha < ma, то при неподвижности отрезка [ВС] имеем четыре конгруэнтных треугольника (две пары симметричных треугольников относительно оси (ВС)).

Если ha = ma, то при неподвижности [ВС] имеем два сим­метричных равнобедренных треугольника.

В обоих случаях задача имеет одно решение с точностью до перемещения.

Построение фигуры в каждом из выделенных случаев.

Если ha = ma, то достаточно провести серединный перпен­дикуляр [M1М2] и отложить |DM1| = |DM2| = ha = ma. Треуголь­ник BCM1 — искомый.

Поиск других способов решения задачи, выделе­ние рационального.

При анализе задачи было установлено наличие прямо­угольных треугольников BFA, DFA, CFA. Треугольник DFA может быть построен по гипотенузе ma и катету ha. После этого на прямой FD откладываем .

Этот путь решения задачи рациональнее.

Выделение способов решения задачи. В первом случае при­менялся способ пересечения множества точек (окружности и прямой) для построения точки А.

Во втором случае задача сводилась к построению более простой фигуры — к построению прямоугольного треугольника.

Составление других задач, решаемых указанными способа­ми. Это задание рекомендуем учащимся выполнить самостоя­тельно.

Заметим, что данная схема является, по существу, детализа­цией традиционной.

На уроке она может применяться в свернутом виде (напри­мер, включая лишь анализ, составление плана решения, ис­следование задачи). В виде домашнего задания можно предло­жить выполнить построение фигуры, доказательство, поиск дру­гих способов решения.

Опыт показывает, что решение задач на построение в со­ответствии с указанной схемой формирует умение анализиро­вать, синтезировать, обобщать, доказывать, строить алгорит­мы операций, выполняемых данными инструментами, проводить исследование, искать рациональные способы и т.п. Поэтому они и впредь занимают и будут занимать важное место в матема­тическом образовании.

 

Примеры задач с «алгебраическим» и с «геометрическим» параметром.

 

Как видим, что геометрия включает в себя не только числовые со­отношения между фигурами или элементами фигу­ры, но и геометрические. Следовательно, для гео­метрии параметрами могут быть и классические «алгебраические» параметры, и сугубо специфиче­ские «геометрические» параметры.

Приведем пример задачи с «алгебраическим» параметром.

1. Периметр равнобедренного треугольника ра­вен Р, одна из его сторон равна а. Найдите вторую сторону треугольника. Сколько реше­ний имеет задача при различных значениях параметра а? (VIII класс, «Неравенство тре­угольника»[1].)

Решение. 1) Если а — основание, то боковая сторона равна . При этом, используя нера­венство треугольника, получаем систему

 откуда

Первое неравенство очевидно в силу того, что а — сторона треугольника, т.е. длина отрезка, которая по аксиоме является числом положительным.

2) Если абоковая сторона, то Р - 2аоснование и

 откуда

Ответ: при   задача имеет два решения: а,   и а, а, Р – 2а; при   задача имеет одно решение: а,   при  и при    задача не имеет решений.

Предложенная задача является обобщением цик­ла задач VII класса по теме «Равнобедренный тре­угольник». В ней параметром является не только указанная величина одной из сторон треугольни­ка — сторона а, но и то, какой является эта сторо­на — боковой или основанием.

Рассмотрим задачу с «геометрическими» параме­трами. Иногда их называют многовариантными геометрическими задачами.

2. На прямой, содержащей отрезок АВ, взята точка С так, что АС = с, АВ = а. Найдите длину отрезка ВС. (VII класс, «Измерение от­резков».)

Решение. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Поскольку речь идет о трех точках, то каждая из них может лежать между двумя другими, и потому мы имеем три раз­личных случая.

1) Пусть точка А лежит между точками С и В. Тогда по аксиоме измерения отрезков[2] ВС = АВ + АС, откуда ВС = а + с.

2) Пусть точка В лежит между точками А и С. Тогда АС = АВ + ВС и ВС = с - а.

3) Если же точка С лежит между точками А и В, то АВ = АС + ВС и ВС = а - с.

Очевидно, что случаи 2) и 3) несовместимы, по­скольку значения длины отрезка ВС будут проти­воположны, а длина отрезка — число положитель­ное. Таким образом, один из этих случаев не дает ответа.

Ответ: ВС = а + с или .

Рассмотренная задача является обобщением се­рии подобных задач, перед решением которой це­лесообразно рассмотреть упрощенный вариант: когда на а и с накладываются определенные ограничения (а > с или а < с). Предложенная задача имеет параметром свойство «одна из трех точек прямой лежит между двумя другими».

Всё написанное выше служит иллюстрацией того, что в геометрии параметры —не редкость. Более того, их использование в курсе геометрии оказывается органичным и целесообразным.

Итак, где же взять такие геометрические задачи с параметрами?

3. Найти высоту равнобе­дренного треугольника с основанием а и радиу­сом описанной окруж­ности  R.   (VIII класс, «Теорема Пифагора».)

Решение. Поскольку вершина, противолежащая основанию, может лежать на одной из двух дуг описанной окружности (т.е. в разных полуплоскостях относи­тельно прямой, содержащей основание треугольни­ка), то задача будет иметь два различных решения: Если угол, противолежащий основанию, острый, то расстояние от центра окружности до основания равно hR, где h — высота, проведенная к основанию. Тогда по теореме Пифагора (рис. 2) , откуда получаем квадратное уравнение относительно h: . Корни этого уравнения числа .

Если же угол, противолежащий основанию, тупой, то расстояние от центра окружности до основания равно Rh, а следовательно,  , что приведет к тому же самому квадратному уравне­нию. Таким образом, квадратное уравнение само предусмотрело два различных решения этой задачи.

Ответ: .

4. Найдите площадь равнобедренного треуголь­ника с основанием 12, если длина описан­ной около него окружности равна 20π.  (IX класс, «Площадь треугольника».)

Ответ: 108 или 12.

5. Даны три точки А, В, С, не лежащие на од­ной прямой. Построить точку М такую, чтобы точки А, В, С, М были вершинами паралле­лограмма. (VIII класс, «Параллелограмм».)

Указание. Поскольку не указано положение точ­ки М относительно других точек, то возможно построение трех различных параллелограммов: 1) с диагональю АВ; 2) с диагональю АС; 3) с диаго­налью ВС. При этом ход построения оказывается одинаковым для всех трех случаев.

6. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекают прямую ВС в точках Е и F соответственно. Найдите стороны парал­лелограмма, если его периметр равен Р и известно, что (VIII класс, «Параллелограмм».)

Ответ:  если точка пересечения биссект­рис   лежит   вне   параллелограмма,   то , ; если точка пересечения биссектрис — внутри параллелограмма, то , .

7. Угол ABC равен 60°, причем АВ = ВС = а. Окружность с центром в точке О1, касается АВ в точке А, окружность с центром в точке О2 касается ВС в точке С. Кроме того, эти окруж­ности касаются друг друга внешним образом. Найдите радиусы окружностей, если извест­но, что их отношение равно двум. (IX класс, «Итоговое повторение».)

В рассматриваемой задаче каждый из центров О1 или О2 может находиться как внутри угла ABC, так и вне его. Потому задача разбивается на четыре различных варианта: 1) оба центра окружностей лежат внутри угла; 2) оба центра окружностей ле­жат вне угла; 3) центр большей окружности лежит внутри, меньшей — вне угла; 4) центр меньшей окружности лежит вне, а большей — внутри угла. Все представленные возможности прекрасно реа­лизуются и дают четыре пары ответов.

Ответ:  1)  и ;

2)                 и ;

3)                 и ;

4)                 и .

В рассмотренной выше задаче 1 в качестве геоме­трического параметра выступало условие: какой сто­роной должна быть данная величина — боковой или основанием. Похожие по сути задачи встречаются достаточно часто — в них идет речь о некоторой данной величине, но не указывается точно, что это за геометрическая величина. Поясним эту мысль примером похожей задачи.

8. Найдите среднюю линию трапеции, если одно из оснований равно а, а диагонали точкой пересечения делятся в отношении , где . (VIII класс, «Теорема о пропорциональных отрезках».)

Указание. В задаче не указано, длина какого осно­вания — большего или меньшего — дана. Эта неопре­деленность и будет служить параметром в задаче.

Ответ:  или .

Иногда в задачах участвуют две или более ок­ружностей, касающихся друг друга, но при этом не указывается способ касания — внешний или внут­ренний. Это также оказывается причиной возник­новения нескольких вариантов решения задачи.

9. Даны две окружности с общим центром и радиусами r и R (r < R). Найдите радиус окружности, касающейся каждой из этих окружностей. (VII класс, «Окружность».)

Ответ:   или  .

Изучение задач с геометрическими параметрами приводит к следующим выводам.

• Начинать применять задачи с геометрически­ми параметрами можно уже с самого раннего периода изучения геометрии.

• Применение подобных задач не позволяет уче­никам «закостенеть» в своих умениях и навы­ках применения геометрических знаний.

• Задачи с геометрическими параметрами носят творческий характер и не могут быть включе­ны в обязательный минимум; их необходимо отнести к задачам «продвинутого» уровня.

Именно такие задачи дают возможность ученику глубже понять изучае­мый материал, увидеть «изюминку» в решении ге­ометрических задач.

 

3. Литература:

 

1.      Алексеев В. и др. Задачи по планиметрии. М., 2005.

2.      Алексеев В. и др. Задачи по стереометрии. М., 2005.

3.      Веселовский С.Б. Дидактические материалы по геометрии для 11класса. М., 2003.

4.      Лаппо Л.Д, Попов М.А. Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию. М., 2004.

5.      О совершенствовании методов обучения математике. Пособие для учителей. Сб. статей. Сост. В.С. Крамор. М., «Просвещение»,1978.

6.      Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. М., 1989.

7.      Шабунин М. Планиметрия на вступительных экзаменах в МФТИ. М., 2005.

8.      Феоктистов Н.Е. Задачи с параметром в геометрии. « Математика в школе»,2002,№5

 

4. Вопросы для самостоятельной работы:

 

1.      Проанализируйте виды задач по геометрии.

-         Найти высоту равнобе­дренного треугольника с основанием а и радиу­сом описанной окруж­ности  R.   (VIII класс, «Теорема Пифагора».)

-         Даны три точки А, В, С, не лежащие на од­ной прямой. Построить точку М такую, чтобы точки А, В, С, М были вершинами паралле­лограмма. (VIII класс, «Параллелограмм».)

-         Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекают прямую ВС в точках Е и F соответственно. Найдите стороны парал­лелограмма, если его периметр равен Р и известно, что (VIII класс, «Параллелограмм».)

-         ABCDE - правильный пятиугольник, М — точка плоскости такая, что треугольник DEM — равносторонний. Найдите величину угла АМС. (VIII класс, «Углы, вписанные в окружность».)

-         Прямая MN пересекает стороны АС и ВС треугольника АВС в точках M и N соответ­ственно. Найдите CN, если АС = b, ВС = а, AM = m и известно, что прямая MN отсекает от исходного треугольника подобный тре­угольник. (IX класс, «Подобие треугольников».)

2.      Проанализируйте этапы решения этих задач.

3.      Решите задачу по свернутой схеме.

В правильной треугольной пирамиде SLMN, все ребра которой равны 3а, на ребре SN взята точка А так, что SA : AM = 2 : 1. Через точку А проведена плоскость, параллельная ребру SL и высоте MK треугольника LMN. Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью.



[1] Тематика задач соответствует планированию учебного ма­териала по учебнику «Геометрия 7-11» А.В.Погорелова.