Развитие мышления учащихся в процессе преподавания геометрии

опыт работы учителя математики
Сухаревой Галии Мансуровны

Одно из важнейших направлений перестройки системы школьного образования в нашей стране связано с обучением, ориентированным на развитие творческих возможностей учащегося. Достижение цели формирования творческого мышления школьников в значительной степени обеспечивается правильной организацией процесса усвоения знаний.

Творческое (продуктивное) мышление – это мышление, в котором решается проблема, вырабатывается новая стратегия, обнаруживается нечто новое. Продуктивное мышление характеризуется высокой степенью новизны получаемого продукта, его оригинальностью. Это мышление появляется тогда, когда ученик, попытавшись решить задачу на основе ее формально- логического анализа с прямым использованием известных ему способов, убеждается в бесплодности своих попыток и у него возникает потребность в новых знаниях, которые позволят решить проблемы. Особенности продуктивного мышления школьников формируются и развиваются в деятельности, прежде всего учебной. Совершенствуя содержание и методы обучения, можно существенно повысить их влияние на развитие продуктивного мышления школьников.

В основу исследования, проведенного учителем на материале математики, было положено предположение, что систематическое включение в курс математики задач и игр комбинированного характера способствует более целенаправленному формированию у учащихся компонентов творческого мышления.

В процессе исследования выделены три уровня развития творческого мышления:

I.компенсирующий уровень (понял, запомнил, воспроизвел)
II.стандартный уровень (понял, запомнил, воспроизвел по образцу в измененных условиях, где надо узнать образец);
III.углубленный уровень (обеспечивает самостоятельное решение новых для него проблем; глубокое, высокого уровня усвоение знаний, быстрый темп овладения ими, широту их переноса в относительно новые условия.

Диагностику динамики развития творческого мышления можно осуществлять следующим образом:
I.компенсирующий уровень.
Существует ли призма, у которой только одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания? Ответ объясните.

II.стандартный уровень. АВСДА1В1С1Д1- четырехугольная призма. На чертеже прямые KК1, МM1, РP1 параллельны. Какие из них параллельны на самом деле? Опишите рассуждения.

III. углубленный уровень
Две боковые грани наклонной призмы, в основании которой лежит прямоугольник, перпендикулярны плоскости основания. Какой вид имеют две другие грани? Выполните рисунок. Опишите рассуждения.
Проведенные учителем опытно- экспериментальные уроки математики были направлены на увеличение объема творческих заданий, заданий комбинаторного характера. Примерами таких заданий являются:

А) В каждом мешочке с пуговицами имеется только по одной синей пуговице. Надо, не заглядывая в мешочек, вынуть одну пуговицу. Из какого мешочка надо вынимать пуговицу, чтобы возможность вынуть синюю была наибольшей? (всего мешочков три и каждый соответственно содержит 25, 200 и 700 пуговиц)

Б) задания со спичками;

В) игры- головоломки.

В процессе обучения школьников выполнению творческих заданий особое место отводилось поиску осмысленного плана решения, выделению серии заданий, решаемых общим способом, контролю за выполнением действий.

Для усиления эмоциональной стороны познавательной деятельности в учебный материал вводились элементы занимательности, игры.

Результаты проведенной работы свидетельствуют о том, что систематическое привлечение в процессе обучения математике именно с 5 класса заданий комбинаторного характера создает условия, благоприятствующие формированию у учащихся творческого мышления, что способствует более успешной реализации гуманитарной составляющей математики.

Особое внимание в процессе работы уделялось комбинаторным задачам геометрического содержания. Был введен отдельный учебный предмет “Наглядная геометрия”, основная цель которого – способствовать развитию у младших школьников наглядно- образного мышления. В основе курса лежит практическая деятельность ребенка, связанная с различными геометрическими объектами: наблюдение, конструирование, экспериментирование, в результате которой  учащиеся самостоятельно добывают геометрические знания и развивают такие качества, как интуиция, пространственное воображение, глазомер и т.д. Плоские и пространственные фигуры изучаются совместно. В данном курсе нет теорем, строгих рассуждений. Теоретизация материала минимальная  и нарастает лишь на завершающем этапе.

Программа курса “Наглядная геометрия”

1.Первые шаги в геометрии (исторические факты)
2.Пространство и размерность
3.Простейшие геометрические фигуры
4.Геометрические тела
5.Конструирование и моделирование из буквы Т
6.Куб и его свойства
7.Задачи на разрезание и складывание фигур
8.Треугольник
9.Правильные многогранники
10.Геометрические головоломки
11.Измерение длины
12.Вычисление площади и объема
13.Геометрический тренинг
14.Задачи со спичками

Задачи, головоломки, игры, лабиринты

Приведем примеры задач к данному курсу.

Задания на распознавание видов геометрических фигур.

1.      На столе выставляются модели различных фигур (пирамиды, конусы, призмы и т.д.). Требуется расклассифицировать эти  фигуры по их похожим признакам.

2.      На доске чертим развертки различных фигур. На столе выставляются модели фигур. По данной модели найти ее развертку и наоборот.

3.      На доске записаны формулы для вычисления полной поверхности куба, параллелепипеда и т.д. предлагаются модели куба, параллелепипеда, пирамиды, конуса. Определить, какой модели соответствует каждая формула.

4. Дано 5 точек. Сколько существует отрезков, которыми можно соединить эти точки.

5.      Учащимся предлагаются пары моделей: параллелепипед и призма, конус и пирамида, цилиндр и параллелепипед, пирамида и треугольник. Требуется сравнить модели каждой пары, выявив их сходство и различие.

6.      Среди моделей (параллелограмм, параллелепипед, цилиндр, трапеция, конус, круг, шар, сегмент, пирамида и т.д.) найти такие, которые имеют центр (ось) симметрии.

Задания на выделение характеристических признаков различных пространственных фигур.

1.      Построй четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны.

2.      Начерти фигуру, которая состоит из 6 граней, представляющих собой квадраты.

3.      По данной развертке найти модели куба, пирамиды, конуса.

Задания на выяснение взаимного положения данных пространственных фигур.

1.      Дана модель цилиндра (пирамиды). Нарисовать ее в различных положениях к наблюдателю.

2.      Модель правильной четырехугольной пирамиды окрашена так, что ее основание красного цвета, а боковые грани поочередно зеленые и желтые. Раскрасить развертку пирамиды в соответствующие цвета.

3.      Сколько одинаковых кубиков нужно для составления в два раза большего куба?

4.      Можно ли расположить 6 одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных?

5.      Расположить 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных.

Задачи на взаимное расположение точки и плоскости.

1.    

А) Приведите примеры точек, лежащих в плоскости пола вашего класса;

Б) укажите точку, которая одновременно лежала бы в плоскости пола и в плоскости одной из стен;

В) можно ли указать точку, которая одновременно лежит в плоскости пола и в плоскостях двух каких-либо стен;

Г) можно ли указать точку, которая одновременно лежит в плоскости пола и в плоскости потолка;

Д) укажите точку, которая не лежит ни в одной из плоскостей стен, потолка, пола .

2.        Возьмем точку, расположенную внутри прямоугольного параллелепипеда. Мы установили, что эта точка не принадлежит ни какой из плоскостей  его граней.

А) можно ли сказать, что любая точка, лежащая вне параллелепипеда, не принадлежит ни одной из плоскостей его граней? Приведите примеры, доказывающие или опровергающие это утверждение.

Б) точка лежит вне параллелепипеда. Может ли эта точка одновременно принадлежать плоскостям двух его граней? Приведите примеры, доказывающие или опровергающие это утверждение.

В) на прямой, содержащей ребро параллелепипеда, взята точка. Плоскостям каких граней прямоугольного параллелепипеда принадлежит эта точка?

Сопоставление рисунков, чертежей с моделями этих фигур.

1.      На чертеже прямоугольного параллелепипеда выделены некоторые точки. Указать их на модели данной фигуры.

2.      Найти модели фигур по имеющимся изображениям их комбинаций, установить найденные фигуры в положение, соответствующее этим изображениям.

Важнейшей педагогической проблемой является разрешение противоречия между первичностью пространственных форм, их физическим реализмом сравнительно с абстрактностью плоских фигур и традиционной логикой построения геометрических курсов, развивающихся от плоской к пространственной геометрии.

Возможным путем разрешения такого противоречия является соответствующая специализация  геометрического материала на 4 этапах школьного обучения.

1 этап: на первом этапе (1-4 классы) единый курс математики характеризуется широкой геометризацией всего учебного материала. Основная цель состоит в обогащении геометрических представлений учащихся, в ознакомлении их с богатым набором геометрических фигур (как плоских, так и пространственных), в усвоении основной геометрической терминологии, приобретении умений и навыков изображать геометрические фигуры.

2 этап: на втором этапе (5 класс) курс “Наглядная геометрия”. Главная цель состоит в том, чтобы существенно обогатить пространственные представления учащихся, ознакомить их с основными фактами геометрии. В этом курсе учащиеся практическими методами с помощью опыта или эксперимента устанавливают основные геометрические факты, учатся их использовать в практической деятельности.

3 этап: систематический курс (6-10 классы). Единый курс планиметрии и стереометрии. Изучение планиметрии и стереометрии ведется параллельно. По своей логической структуре – это индуктивно- дедуктивный курс.

4 этап: четвертый этап (11 класс) – небольшой по объему. Здесь могут быть обсуждены вопросы истории развития геометрии, аксиоматического ее построения, различные интерпретации евклидовой геометрии, возникновение геометрии Лобачевского и другие вопросы, относящиеся к дедуктивному методу.

Программа систематического курса геометрии (3  этап)

6 класс

1.      Начальные понятия геометрии

2.   Aксиомы стереометрии

3.      Углы

4.      Многогранные углы

5.      Признаки равенства треугольников

7 класс

1.      Сумма углов треугольника

2.      Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

3.      Геометрические построения

4.      Изображение пространственных фигур на плоскости

5.      Перпендикулярность прямых и плоскостей

6.      Четырехугольники

7.      Многогранники

8 класс

1.      Теорема Пифагора

2.      Декартовы координаты на плоскости

3.      Координаты в пространстве

4.      Преобразование фигур на плоскости

5.      Преобразование фигур в пространстве

9 класс

1.      Решение треугольников

2.      Многоугольники

3.      Правильные многогранники

4.     Площади фигур

5.      Перпендикулярность прямых и плоскостей

6.      Решение задач

10 класс

1. Координаты и векторы

2.      Многогранники

3.      Тела вращения

4.      Объемы тел

5.      Площади поверхностей тел

В организации учебного процесса важную роль играют задачи. Целесообразно подбирать блоки родственных заданий, объединенных одной математической идеей или проблемой. Каждая задача из такой серии высвечивает отдельную грань исследуемой проблемы. Сама же серия позволяет ее всесторонне изучить. Необходимо учащимся сообщить проблему, в связи с которой решается группа заданий.

Приведем примеры таких серий задач.

Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник.

Проблема: Сколько решений имеет задача?

1.      Один из углов равнобедренного треугольника равен 700. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?

2.      Один из углов равнобедренного треугольника равен а. Найдите остальные углы.

3.      Один из углов треугольника равен 500. При каком условии этот треугольник окажется равнобедренным?

4.      Один из углов треугольника равен а. При каком условии этот треугольник окажется равнобедренным?

5.      Один из внешних углов треугольника равен 1300. При каком условии этот треугольник окажется равнобедренным?

6.      Один из внешних углов треугольника равен а. При каком условии этот треугольник окажется равнобедренным?

7.      Угол между биссектрисами двух углов равнобедренного треугольника равен 1300. Определите углы этого треугольника. Рассмотрите различные варианты выбора биссектрис.

8.      Составить и решить задачу, аналогичную предыдущей, положив угол между биссектрисами равны 120

Неравенство треугольника

Проблема: какими свойствами должны обладать стороны треугольника, чтобы этот треугольник существовал?

1.      Существует ли треугольник со сторонами 7,8 и 11?

2.      Существует ли треугольник со сторонами 7,8 и 16?

3.      Существует ли треугольник со сторонами 7,8 и 0,5?

4. Две стороны треугольника равны 7 и 8. В каких пределах может изменяться третья сторона?

5.      Две стороны параллелограмма равны 7 и 8. В каких пределах может изменяться его диагональ?

6.      Стороны треугольника равны 7 и 8. В каких пределах может изменяться медиана, проведенная к стороне длины 8?

7.      Стороны треугольника равны 7 и 8. В каких пределах может изменяться медиана, проведенная к третьей стороне ?

Шар

Проблема: Где расположен центр шара?

1.      Где расположен центр шара, вписанного в конус, описанного около конуса?

2. Где расположен центр шара, описанного около цилиндра?

3.      Где расположен центр шара, описанного около усеченного конуса?

4.      Найти множество точек пространства, одинаково удаленных от вершин треугольника АВС.

5.      Где расположен центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды?

6.      Где расположен центр шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды?

ИПКиППРО ОГПУ

Банк_педагогической_информации